☆ Un produit de sommes

1. Démontrer que, pour tout réel `x>0` ,  \(x+\dfrac{1}{x}\geqslant2\) .
2. Soit `x_1, x_2,...,x_n`  des réels strictement positifs.  Démontrer que, pour tout entier naturel non nul `n` , \(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k}\right)\geqslant n^2\) .

Remarque

Cette inégalité est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy Schwarz.
Si `x_1,...,x_n,y_1,...,y_n`  sont des réels positifs, alors 
\(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)\geqslant \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_ky_k\right)^2\) .